소인수분해 → 중3 인수분해, 고등 다항식까지 중1 수학의 첫 단원인 소인수분해는 "숫자를 가장 작은 조각으로 쪼개는 연습"입니다. 거듭제곱을 이용해 12를 2²×3으로 나타내고, 이를 바탕으로 최대공약수와 최소공배수를 구합니다. 중학생이 되어 처음 배우는 단원이라 가볍게 넘기기 쉽지만, 여기서 익힌 '쪼개서 보는 눈'은 중3 인수분해에서 숫자 대신 식을 쪼개는 방식으로 그대로 다시 나옵니다. 거듭제곱 표기는 중2 지수법칙으로 이어집니다. 소인수분해를 빠르고 정확하게 하는 학생일수록 뒤 단원에서 계산 속도 차이가 크게 벌어집니다.
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예제) 12와 18의 최대공약수와 최소공배수를 소인수분해로 구하세요.
풀이: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² 입니다. 최대공약수는 공통인 소인수에서 지수가 작은 것을 골라 2 × 3 = 6, 최소공배수는 모든 소인수에서 지수가 큰 것을 골라 2² × 3² = 36 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 1을 소수로 착각하는 실수: 1은 소수도 합성수도 아닙니다. 가장 작은 소수는 2입니다.
- 최소공배수에서 지수가 작은 쪽을 고르는 실수: 최대공약수는 '작은 지수', 최소공배수는 '큰 지수'로 기억하세요.
정수와 유리수 → 중2 순환소수, 중3 실수, 모든 계산의 기초 음수를 처음 본격적으로 다루는 단원입니다. 절댓값, 수의 대소 관계, 정수와 유리수의 사칙계산을 배우는데, 중1 2학기 이후 틀리는 문제의 상당수가 바로 이 부호 계산 실수에서 나옵니다. 중2에서는 유리수를 순환소수와 연결하고, 중3에서는 무리수까지 넓혀 '실수' 전체를 다룹니다. 고등학교 수학에서도 부호 실수는 여전히 가장 흔한 감점 원인입니다. 개념 자체는 어렵지 않으니, 이 시기에 '−(−3)'이나 '(−2)²'과 '−2²'의 차이 같은 계산을 확실하게 습관으로 만들어 두는 것이 중요합니다.
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예제) (−3) − (−5) 와 (−2)², −2² 의 값을 각각 구하세요.
풀이: 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꿔 덧셈으로 고칩니다. (−3) − (−5) = (−3) + (+5) = 2 입니다. (−2)² 은 −2를 두 번 곱하므로 4, −2² 은 2²에 마이너스를 붙인 것이므로 −4 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 괄호 유무를 구분하지 않는 실수: (−2)² = 4 와 −2² = −4 는 전혀 다른 값입니다.
- 곱셈에서 부호를 마지막에 정하지 않는 실수: 음수를 짝수 번 곱하면 +, 홀수 번 곱하면 − 입니다. 부호를 먼저 정하고 절댓값을 계산하면 실수가 줄어듭니다.
문자의 사용과 식 → 중2 식의 계산, 중3 곱셈공식 숫자 대신 x, y 같은 문자를 쓰기 시작하는 순간이 초등 수학과 중등 수학을 가르는 경계입니다. 곱셈 기호 생략, 동류항 정리, 일차식의 덧셈·뺄셈을 배우며 '식을 다루는 언어'를 익히는 단원입니다. 이 단원이 흔들리면 중2의 다항식 계산과 지수법칙, 중3의 곱셈공식과 인수분해가 줄줄이 어려워집니다. 문장으로 된 상황을 식으로 바꾸는 연습, 예를 들어 "한 개에 a원인 연필 3자루와 500원짜리 지우개"를 3a+500으로 쓰는 연습을 충분히 해 두면 뒤에 나오는 활용 문제 전반이 쉬워집니다.
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예제) 2(x + 3) − (x − 4) 를 간단히 하세요.
풀이: 분배법칙으로 괄호를 풀면 2x + 6 − x + 4 입니다. 동류항끼리 모으면 (2x − x) + (6 + 4) = x + 10 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 괄호 앞 마이너스를 뒤 항까지 적용하지 않는 실수: −(x − 4) 는 −x − 4 가 아니라 −x + 4 입니다.
- 동류항이 아닌 항을 더하는 실수: 3x + 2x² 은 더 이상 합칠 수 없습니다. 문자와 차수가 모두 같아야 동류항입니다.
일차방정식 → 중2 연립방정식·일차부등식, 중3 이차방정식 등식의 성질과 이항을 이용해 미지수 x를 구하는 단원입니다. 중학교 수학에서 '방정식' 계열은 중2 연립방정식과 일차부등식, 중3 이차방정식, 고등학교 공통수학1의 방정식과 부등식까지 한 줄로 이어집니다. 그래서 일차방정식은 단순히 한 단원이 아니라 방정식 계열 전체의 출발점이라고 봐야 합니다. 특히 활용 문제에서 무엇을 x로 둘지 정하고 식을 세우는 과정이 핵심입니다. 답만 맞히기보다 풀이 과정을 말로 설명해 보게 하면, 개념을 제대로 이해했는지 쉽게 확인할 수 있습니다.
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예제) 연속하는 세 자연수의 합이 48일 때, 세 수를 구하세요.
풀이: 가운데 수를 x로 두면 세 수는 x − 1, x, x + 1 입니다. 합은 3x = 48 이므로 x = 16, 세 수는 15, 16, 17 입니다. 가운데 수를 x로 두면 식이 간단해지는 것처럼, 무엇을 x로 둘지가 활용 문제의 핵심입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 이항할 때 부호를 바꾸지 않는 실수: 3x − 5 = x + 7 에서 −5를 넘기면 +5가 되어 2x = 12, x = 6 입니다.
- 분수 계수 방정식에서 한 항에만 곱하는 실수: x/2 + 1 = 3 의 양변에 2를 곱하면 x + 2 = 6 입니다. 1에도 2를 곱해야 합니다.
좌표평면과 그래프(정비례·반비례) → 중2 일차함수, 중3 이차함수, 고등 함수 순서쌍과 좌표, 그래프 해석, 정비례·반비례 관계를 배웁니다. 학교에 따라 1학기 끝이나 2학기 초에 배우는 단원이라, 우리 학교 시험 범위에 들어가는지 먼저 확인해 보세요. 정비례 y=ax는 중2 일차함수 y=ax+b의 바로 앞 단계입니다. 반비례 y=a/x는 고등학교 유리함수로 이어집니다. 함수는 고등 수학 전체를 관통하는 주제입니다. 그래서 중1 때 표, 식, 그래프를 서로 바꿔 표현하는 연습을 해 두면 중2 함수 단원에서 체감 난이도가 확 낮아집니다.
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예제) y가 x에 정비례하고 x = 2일 때 y = 6 입니다. 또 다른 경우로, y가 x에 반비례하고 x = 2일 때 y = 6 입니다. 각각의 식을 구하세요.
풀이: 정비례는 y = ax 꼴이므로 6 = 2a, a = 3 → y = 3x 입니다. 반비례는 y = a/x 꼴이므로 6 = a/2, a = 12 → y = 12/x 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 정비례 그래프를 원점을 지나지 않게 그리는 실수: y = ax 의 그래프는 항상 원점을 지나는 직선입니다.
- 반비례에서 x와 y의 곱이 일정하다는 점을 놓치는 실수: y = 12/x 이면 x × y 는 항상 12 입니다. 이 성질로 빈칸 채우기 문제를 빠르게 풀 수 있습니다.
작도와 합동·평면도형 → 중2 도형의 성질과 닮음, 중3 원의 성질 기본 도형(점·선·면·각, 평행선의 동위각과 엇각), 작도와 삼각형의 합동 조건, 다각형의 내각·외각, 부채꼴의 호와 넓이를 배웁니다. 중1 도형은 외울 것이 많아 보이지만 실제로는 "왜 그런지 근거를 대는 연습"의 시작입니다. 삼각형의 합동 조건(SSS·SAS·ASA)은 중2에서 이등변삼각형과 사각형의 성질을 설명하는 도구가 되고, 닮음과 피타고라스 정리로 이어집니다. 부채꼴은 중3 원의 성질의 기초입니다.
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예제) 반지름이 6cm, 중심각이 60°인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하세요.
풀이: 60°는 360°의 1/6 입니다. 호의 길이는 원의 둘레 2π × 6 = 12π 의 1/6 인 2π cm, 넓이는 원의 넓이 π × 6² = 36π 의 1/6 인 6π cm² 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 두 변과 '끼인각이 아닌' 각이 같으면 합동이라고 생각하는 실수: SAS 합동은 두 변과 그 사이에 끼인각이 같을 때만 성립합니다.
- 다각형 내각의 합 공식 혼동: n각형 내각의 합은 180° × (n − 2), 외각의 합은 항상 360° 입니다. 오각형이면 내각의 합이 540°, 정오각형의 한 내각은 108° 입니다.
📌 한눈에 보는 중1 → 중2·중3 연결
- 소인수분해 → 중2 지수법칙 → 중3 인수분해
- 정수와 유리수 → 중2 순환소수 → 중3 제곱근과 실수
- 문자의 사용과 식 → 중2 식의 계산 → 중3 곱셈공식
- 일차방정식 → 중2 연립방정식·일차부등식 → 중3 이차방정식
- 좌표평면과 정비례·반비례 → 중2 일차함수 → 중3 이차함수
- 작도와 합동·평면도형 → 중2 삼각형·사각형의 성질과 닮음 → 중3 원의 성질
올해 1학기가 자유학기였던 학교라면 이번 2학기 시험이 첫 지필평가일 수 있습니다. 추석 연휴가 끝난 지금이 흔들린 단원을 점검하기 좋은 시기입니다. 톡톡스터디는 방문과외·화상과외·와와학원·회화수업 중 아이에게 맞는 방식으로, 앞 단원의 구멍부터 차근차근 메워 드립니다.