올해 고2, 새 교육과정의 첫 세대입니다
10월은 고2 학생들이 2학기 중간고사를 준비하면서, 고3을 앞두고 남은 시간을 계산하기 시작하는 시기입니다. 올해 고2는 특별한 학년입니다. 2022 개정 교육과정을 처음 적용받은 학년이고, 고등학교 내신 5등급제의 첫 학년이며, 2028학년도 수능을 처음 치르는 학년입니다. 고2 수학은 일반선택 과목인 '대수', '미적분Ⅰ', '확률과 통계'로 구성되고, 2028 수능 수학은 이 세 과목이 선택 없이 모두 출제 범위입니다. 그래서 고2 수학은 내신과 수능이 거의 그대로 겹치는 과목입니다. 이 글에서는 세 과목의 단원 구성을 정리합니다. 그리고 각 단원이 고1의 어디에서 이어지고 고3·수능의 어디로 연결되는지 차례로 짚어 드립니다.
대수: 지수·로그, 삼각함수, 수열
'대수'는 세 영역으로 나뉩니다. 첫째 '지수함수와 로그함수'에서는 지수의 확장, 로그의 성질, 지수·로그함수의 그래프를 배웁니다. 둘째 '삼각함수'에서는 호도법(라디안), 삼각함수의 그래프, 사인법칙과 코사인법칙을 다룹니다. 셋째 '수열'에서는 등차·등비수열, 수열의 합(Σ), 수학적 귀납법을 배웁니다. 연계를 보면, 로그함수는 고1 공통수학2 '함수와 그래프'에서 배운 역함수가 바탕입니다. 지수함수와 로그함수가 서로 역함수 관계이기 때문입니다. 삼각함수는 중3 삼각비가 직각삼각형을 벗어나 모든 각으로 확장된 내용입니다. 역함수 개념이 흐릿하면 로그함수 그래프에서, 삼각비가 약하면 삼각함수 단원에서 막히기 쉽습니다.
📝 예제로 확인하기
예제) log₂12 − log₂3 + log₂8 의 값을 구하세요.
풀이: 로그의 뺄셈은 나눗셈으로, 덧셈은 곱셈으로 바꿉니다. log₂(12 ÷ 3 × 8) = log₂32 = 5 입니다. 32 = 2⁵ 이므로 답은 5입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- log₂(4 + 4) = log₂4 + log₂4 로 계산하는 실수: 로그의 성질은 곱셈일 때만 덧셈으로 나눌 수 있습니다. log₂8 = 3 이지 4가 아닙니다.
- 각도와 라디안을 섞어 쓰는 실수: π = 180° 이므로 30° = π/6 입니다. 삼각함수 그래프 문제에서는 x축 단위가 라디안인지 먼저 확인하세요.
미적분Ⅰ: 극한과 연속, 미분, 적분
'미적분Ⅰ'은 다항함수를 중심으로 함수의 극한과 연속, 미분, 적분을 배웁니다. 미분에서는 미분계수와 도함수, 접선의 방정식, 함수의 증가·감소와 극대·극소를 다룹니다. 적분에서는 부정적분과 정적분, 넓이를 구하는 방법을 익힙니다. 연계를 보면, 고1의 이차함수 최댓값·최솟값은 완전제곱식으로 구했지만, 미적분Ⅰ에서는 미분으로 삼차·사차함수까지 다룹니다. 고1 '도형의 방정식'의 직선의 방정식은 '접선의 방정식'으로 그대로 이어집니다. 고1에서 직선의 방정식(기울기와 한 점)을 빠르게 세우지 못하면 접선 문제에서 계산 실수가 반복됩니다.
📝 예제로 확인하기
예제) 곡선 y = x³ − 2x 위의 점 (1, −1)에서의 접선의 방정식을 구하세요.
풀이: 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수입니다. y′ = 3x² − 2 이므로 x = 1 에서 기울기는 3 − 2 = 1 입니다. 기울기가 1이고 점 (1, −1)을 지나는 직선은 y − (−1) = 1 × (x − 1), 즉 y = x − 2 입니다. 마지막 단계는 고1에서 배운 '기울기와 한 점으로 직선 세우기' 그대로입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 기울기에 f′(1) 대신 f(1)을 넣는 실수: 기울기는 도함수에 대입한 값입니다.
- '곡선 위의 점'과 '곡선 밖의 점에서 그은 접선'을 구분하지 않는 실수: 곡선 밖의 점이면 접점을 (t, f(t))로 놓고 시작해야 합니다.
확률과 통계: 경우의 수, 확률, 통계
'확률과 통계'는 세 영역입니다. '경우의 수'에서는 중복순열, 같은 것이 있는 순열, 중복조합, 이항정리를 배웁니다. '확률'에서는 확률의 덧셈정리, 조건부확률, 사건의 독립과 독립시행을 다루고, '통계'에서는 확률분포(이항분포·정규분포)와 통계적 추정을 배웁니다. 연계를 보면, 고1 공통수학1에서 배운 순열과 조합이 출발점이고, 여기에 '중복'과 '같은 것'이라는 조건이 더해집니다. 통계 영역은 중학교에서 배운 평균·분산·표준편차가 '확률변수의 평균과 분산'으로 확장된 것입니다. 고1에서 순열과 조합을 구분하는 기준이 흐릿하면 중복순열·중복조합에서 공식을 고르지 못하고 헤매게 됩니다.
📝 예제로 확인하기
예제) 사과, 배, 귤 세 종류의 과일 중에서 같은 종류를 여러 개 골라도 되도록 5개를 고르는 방법의 수를 구하세요.
풀이: 서로 다른 3종류에서 중복을 허락해 5개를 고르므로 중복조합 ₃H₅ 입니다. ₃H₅ = ₃₊₅₋₁C₅ = ₇C₅ = ₇C₂ = 21 가지입니다. 중복이 없으면 3종류 중 5개를 고를 수 없지만, 중복을 허락하면 가능해진다는 점이 고1 조합과의 차이입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- ₃H₅ 를 ₅H₃ 로 바꿔 쓰는 실수: ₙHᵣ 에서 n은 '종류의 수', r은 '고르는 개수'입니다. ₅H₃ = 35 로 전혀 다른 답이 나옵니다.
- 조건부확률에서 전체를 줄이지 않는 실수: '~일 때'라는 조건이 붙으면 그 조건을 만족하는 경우만 새로운 전체로 봐야 합니다.
고3·수능과의 연결: 2028 수능, 미적분Ⅱ·기하
고2 수학은 고3과 수능으로 바로 이어집니다. 2028 수능 수학은 대수, 미적분Ⅰ, 확률과 통계 세 과목이 모두 출제 범위이고, 선택과목이 따로 없습니다. 고2 내신 공부가 그대로 수능 준비가 되는 구조입니다. 한편 진로선택 과목인 '미적분Ⅱ'는 수능 범위가 아니지만, 대수의 지수·로그·삼각함수를 미분하고 적분하는 과목이라 이공계 진학을 생각한다면 고3 내신에서 이수하는 경우가 많습니다. '기하'는 고1 도형의 방정식이 이차곡선과 벡터로 확장된 과목입니다. 대학별 권장 이수 과목은 학교와 학과마다 다르니 반드시 직접 확인해 주세요. 수능에서 꾸준히 출제되는 정적분 넓이 문제를 하나 보겠습니다.
📝 예제로 확인하기
예제) 곡선 y = x² − 2x 와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하세요.
풀이: x² − 2x = 0 에서 x = 0, 2 입니다. 이 구간에서 곡선은 x축 아래에 있으므로 부호를 바꿔 적분합니다. ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 정적분 값 −4/3 을 그대로 넓이로 답하는 실수: 넓이는 항상 양수입니다. 곡선이 x축 아래에 있으면 부호를 바꿔야 합니다.
- 구간 안에서 곡선이 x축 위아래를 오가는데 한 번에 적분하는 실수: x축과 만나는 점을 기준으로 구간을 나누어 계산하세요.
10월 시험 대비와 고3 준비 로드맵
정리하면 고2 수학은 고1 공통수학의 함수·방정식·경우의 수를 바탕으로, 수능 범위 전체를 처음 배우는 학년입니다. 2학기 중간고사 범위는 학교에 따라 대수의 수열이거나 미적분Ⅰ의 미분이 많습니다. 시험 범위를 공부하면서, 그 단원과 이어지는 고1 단원(역함수, 직선의 방정식, 순열과 조합)까지 함께 점검하는 것을 권합니다. 겨울방학에는 1학기에 배운 과목을 수능 유형으로 다시 풀어 보며 고3 진도를 준비하는 것이 좋습니다.
📌 한눈에 보는 고1 → 고2 → 고3·수능 연결
- 지수함수와 로그함수 ← 고1 함수와 그래프(역함수) → 수능 대수, 미적분Ⅱ
- 삼각함수 ← 중3 삼각비 → 수능 대수, 미적분Ⅱ
- 수열 ← 고1 다항식·방정식 → 수능 대수 (Σ, 귀납적 정의)
- 미분·적분 ← 고1 이차함수 최대·최소, 직선의 방정식 → 수능 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ
- 경우의 수·확률 ← 고1 순열과 조합 → 수능 확률과 통계
- 통계 ← 중학교 평균·분산·표준편차 → 수능 확률과 통계 (정규분포, 추정)
어느 단원에서 막히는지 혼자 찾기 어렵다면 1:1 수업이 도움이 됩니다. 톡톡스터디는 방문과외와 화상과외로 학생의 현재 수준과 학교 진도에 맞춰, 비어 있는 고1 연계 단원까지 함께 짚어 드립니다. 먼저 내방 상담으로 2학기 시험 대비와 고3 준비 계획을 함께 세워 보세요.