고1 수학, 공통수학1·2 두 과목으로 나뉩니다
10월은 고1 학생들에게 2학기 중간고사가 가까워지는 시기이자, 1학기에 배운 내용이 제대로 쌓였는지 점검해야 하는 때입니다. 고등학교 1학년 수학은 2022 개정 교육과정에 따라 '공통수학1'과 '공통수학2' 두 과목으로 구성되어 있습니다. 보통 1학기에는 공통수학1, 2학기에는 공통수학2를 배우며, 이 두 과목은 고2 이후 선택과목 전체의 기초가 됩니다. 고1 수학을 단원 하나하나 따로 외우기보다, 중학교 때 배운 어떤 내용에서 이어지고 고2에서 어디로 연결되는지 흐름으로 이해하면 공부 효율이 크게 달라집니다. 이번 글에서는 고1 수학 교과과정 전체 구조와 단원별 연계 단원을 차례로 정리해 드립니다.
공통수학1 — 다항식·방정식과 부등식·경우의 수·행렬
공통수학1은 크게 네 영역으로 나뉩니다. 첫째 '다항식'에서는 다항식의 연산, 항등식과 나머지정리, 인수분해를 배웁니다. 둘째 '방정식과 부등식'에서는 복소수와 이차방정식, 이차방정식과 이차함수의 관계, 여러 가지 방정식과 부등식을 다룹니다. 셋째 '경우의 수'에서는 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열과 조합을 배우고, 넷째 '행렬'에서는 행렬의 뜻과 덧셈·곱셈 같은 연산을 익힙니다. 이 중 다항식과 방정식 단원은 이후 모든 계산의 바탕이 되기 때문에, 여기서 계산 실수가 잦다면 2학기 진도를 나가기 전에 반드시 다시 짚고 넘어가는 것이 좋습니다.
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예제) 다항식 f(x) = x³ − 2x² + 3x − 4 를 x − 2 로 나눈 나머지를 구하세요.
풀이: 직접 나눗셈을 하지 않아도 됩니다. 나머지정리에 따라 f(x)를 x − 2로 나눈 나머지는 f(2)와 같습니다. f(2) = 8 − 8 + 6 − 4 = 2 이므로 나머지는 2 입니다. 나머지정리는 이후 인수정리와 고차방정식 풀이로 그대로 이어집니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- x + 1 로 나눈 나머지를 f(1)로 계산하는 실수: x + 1 = 0 이 되는 x = −1 을 대입해야 하므로 f(−1) 입니다.
- √(−2) × √(−3) = √6 으로 계산하는 실수: 먼저 √2 i × √3 i 로 바꾸면 √6 × i² = −√6 이 됩니다. 음수의 제곱근은 반드시 i 로 바꾼 뒤 계산하세요.
공통수학2 — 도형의 방정식·집합과 명제·함수와 그래프
공통수학2는 세 영역으로 구성됩니다. '도형의 방정식'에서는 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 평행이동과 대칭이동을 배웁니다. '집합과 명제'에서는 집합의 연산과 명제의 참·거짓, 필요조건과 충분조건 같은 논리적 사고를 다루고, '함수와 그래프'에서는 함수의 뜻과 합성함수·역함수, 유리함수와 무리함수를 배웁니다. 2학기 중간고사는 대부분 도형의 방정식이 중심이 되는데, 이 단원은 1학기 이차방정식과 판별식이 그대로 쓰이는 경우가 많습니다. 즉 공통수학2를 잘하려면 공통수학1의 계산력이 먼저 갖춰져 있어야 한다는 뜻입니다. 학교마다 단원 편성 순서나 시험 범위는 다를 수 있으니 반드시 학교 진도표를 함께 확인해 주세요.
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예제) 원 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 의 중심과 반지름을 구하세요.
풀이: x끼리, y끼리 묶어 완전제곱식으로 바꿉니다. (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9 이므로 (x − 2)² + (y + 3)² = 25 입니다. 따라서 중심은 (2, −3), 반지름은 5 입니다. 중3 이차함수에서 꼭짓점을 구할 때 썼던 '완전제곱식 만들기'가 그대로 쓰입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- (y + 3)² 을 보고 중심의 y좌표를 +3 으로 쓰는 실수: 괄호 안 부호의 반대인 −3 이 맞습니다.
- 완전제곱식을 만들 때 더한 수(4, 9)를 우변에 더하지 않는 실수: 양변에 똑같이 더해야 반지름이 맞게 나옵니다.
중학교 수학과의 연계 — 막히면 거슬러 올라가기
이제 단원별로 중학교와의 연계를 살펴보겠습니다. 고1 '다항식'은 중1 문자와 식, 중2 식의 계산, 중3 인수분해에서 이어집니다. '복소수와 이차방정식'은 중3 제곱근과 이차방정식이 바탕이고, '이차방정식과 이차함수'는 중3 이차함수 그래프를 그대로 확장한 내용입니다. '경우의 수'는 중2 확률 단원과 연결되며, '도형의 방정식'은 중2 일차함수 그래프와 피타고라스 정리, 중3 원의 성질이 기초가 됩니다. '함수와 그래프'는 중1 좌표평면과 정비례·반비례, 중2 일차함수에서 출발합니다. 고1 수학에서 막히는 단원이 있다면, 해당 중학교 단원을 짧게라도 복습하는 것이 가장 빠른 해결책이 될 수 있습니다.
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예제) 이차방정식 x² + 2x + k = 0 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하세요.
풀이: 중3에서 배운 근의 공식의 √ 안 부분, b² − 4ac 가 고1의 '판별식 D'입니다. 서로 다른 두 실근을 가지려면 D > 0 이어야 하므로 D = 2² − 4 × 1 × k = 4 − 4k > 0, 즉 k < 1 입니다. 중학교 근의 공식이 고등학교에서 '근의 개수를 판단하는 도구'로 확장되는 대표적인 예입니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- '실근을 갖는다'는 조건에 D > 0 만 쓰는 실수: 중근도 실근이므로 D ≥ 0 입니다. '서로 다른 두 실근'일 때만 D > 0 입니다.
- 이차방정식이라는 조건을 빠뜨리는 실수: x² 의 계수에 문자가 있으면 그 계수가 0이 아니라는 조건을 함께 써야 합니다.
고2 선택과목과의 연결 — 대수·미적분Ⅰ·확률과 통계·기하
고1 수학은 고2 선택과목과도 촘촘하게 연결됩니다. 다항식과 방정식, 이차함수의 최대·최소는 '미적분Ⅰ'에서 다항함수의 미분과 그래프 해석으로 이어집니다. 경우의 수의 순열과 조합은 '확률과 통계'의 중복순열, 이항정리, 확률 계산의 출발점입니다. 함수와 그래프에서 배운 합성함수·역함수 개념은 '대수'의 지수함수와 로그함수를 이해하는 데 꼭 필요합니다. 도형의 방정식은 이후 '기하' 과목의 이차곡선과 벡터로 확장되고, 집합과 명제는 특정 단원이라기보다 고등 수학 전체의 논리적 표현 방식을 익히는 단원입니다. 그래서 고1 수학의 빈틈은 고2에 가서 여러 과목에서 동시에 드러나는 경우가 많습니다.
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예제) 학생 5명 중 3명을 뽑아 반장·부반장·서기를 정하는 경우의 수와, 3명을 뽑아 청소 당번을 정하는 경우의 수를 각각 구하세요.
풀이: 역할이 정해져 있으면 '순서가 있는' 경우이므로 순열입니다. ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60 가지입니다. 청소 당번은 뽑힌 3명의 순서가 상관없으므로 조합입니다. ₅C₃ = 60 ÷ (3 × 2 × 1) = 10 가지입니다. 이 구분이 고2 확률과 통계 전체의 출발점이 됩니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
- 순열과 조합을 구분하지 않고 공식부터 대입하는 실수: '뽑은 뒤 순서를 바꾸면 다른 경우인가?'를 먼저 스스로 물어보세요.
- 합성함수의 계산 순서를 바꾸는 실수: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² 일 때 (f∘g)(1) = f(g(1)) = f(1) = 3 이고, (g∘f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 9 입니다. 오른쪽 함수부터 계산합니다.
2학기 중간고사 대비와 고2 준비 로드맵
정리하면 고1 수학은 중학교 수학을 정리하고 고2 선택과목으로 넘어가는 '연결 다리' 역할을 합니다. 지금처럼 2학기 중간고사를 앞둔 10월에는 시험 범위인 도형의 방정식을 공부하면서, 그 바탕이 되는 1학기 이차방정식과 판별식까지 함께 점검하는 것을 추천드립니다. 겨울방학이 시작되기 전에 공통수학1·2에서 약한 단원을 미리 찾아 두면, 고2 진도를 시작할 때 훨씬 수월해집니다.
📌 한눈에 보는 중학교 → 고1 → 고2 연결
- 다항식 ← 중3 곱셈공식·인수분해 → 고2 미적분Ⅰ 다항함수
- 복소수와 이차방정식 ← 중3 제곱근과 실수·이차방정식 → 고1 판별식, 고차방정식
- 이차방정식과 이차함수 ← 중3 이차함수 → 고2 미적분Ⅰ 최댓값·최솟값
- 경우의 수 ← 중2 확률 → 고2 확률과 통계 (중복순열, 이항정리, 확률)
- 도형의 방정식 ← 중2 피타고라스 정리·중3 원의 성질 → 기하 (이차곡선, 벡터)
- 함수와 그래프 ← 중1 좌표평면·중2 일차함수 → 고2 대수 (지수함수, 로그함수)
어느 단원에서 막히는지 혼자 찾기 어렵다면 1:1 수업이 도움이 됩니다. 톡톡스터디는 방문과외와 화상과외로 학생의 현재 수준과 학교 진도에 맞춰 연계 단원까지 함께 짚어 드립니다. 먼저 내방 상담으로 2학기 시험 대비와 고2 준비 계획을 함께 세워 보세요.